Pengertian, Perhitungan,Penguraian, dan selisih VEKTOR poligon dengan Jajargenjang

BESARAN VEKTOR

A.    Menggabungkan atau Menjumlahkan Besaran vektor

a.      Secara Grafis

            Ada dua cara untuk menjumlahkan beberapa vektor yaitu dengan cara poligon dan dengan cara jajargenjang. Baik dengan menggunakan cara poligon maupun jajargenjang akan menghasilkan hasil yang sama. Oke kita akan bahas kedua cara tersebut.

1.      Metode Poligon

  Sekarang coba perhatikan Gambar (a) di bawah ini, di dalam gambar (a) terdapat tiga buah besaran vektor yaitu vektor F1, vektor F2 dan vektor F3 yang mempunyai besar dan arah tertentu.

     Sekarang perhatikan gambar yang dibawahnya lagi yitu gambar (b). Gambar (b) di bawah menggambarkan penjumlahan vektor F1, vektor F2 dan vektor F3 tersebut di atas dengan cara poligon gaya dan vektor F_R sebagai hasil penjumlahan dari ketiga vektor tersebut. Dengan demikian secara penjumlahan vektor dapat dinyatakan:

         Penggabungan vektor secara poligon dilakukan dengan cara menggambar vektor-vektor yang digabungkan tersebut secara berurutan (diteruskan). Kemudian Vektor resultannya (R) digambar dengan menghubungkan titik awal sampai akhir. (seperti pada gambar)

2.      Metode Jajaran genjang

 

             Nah cara yang dijelaskan di atas tersebut merupakan cara penjumlahan vektor dengan cara poligon. Sekarang kita lanjut cara penjumlahan vektor dengan cara jajargenjang. Perhatikan gambar di bawah ini, vektor F1 dan vektor F2 pada satu titik tangkap yang dijumlahkan dengan cara jajaran genjang.

Vektor F_R merupakan vektor hasil penjumlahan dari vektor F1 dan vektor F2, maka penjumlahan vektor dapat dinyatakan:

           Penggabungan vektor secara jajaran genjang dibuat dengan cara menggambar vektor-vektor yang akan digabungkan dari titik awal yang sama, kemudian buatlah garis sejajar vektor tadi (garis putus-putus) dari kedua ujung vektor yang digabungkan sehingga diperoleh titik potongnya. Terakhir gambarlah Vektor Resultannya dengan menghubungkan titik awal ke titik potong. (seperti pda gambar) 

 

b.      Secara Analitis (Perhitungan)

 

1.      Jika arahnya sama

Resultan vektor yang arahnya sama dihitung dengan menjumlahkan besar dari kedua vektor yang digabungkan.

                        R  = V₁  +  V₂

2.      Jika arahnya berlawanan

Resultan vektor yang arahnya sama dihitung dengan mengurangkan besar dari kedua vektor yang digabungkan (dihitung selisihnya).

                        R  = V₁  -  V₂

3.      Jika saling mengapit sudut

Resultan dari vektor yang arahnya tidak sama dan tidak berlawanan atau arahnya saling mengapit sudut dihitung dengan menggunakan rumus sbb :

Contoh Soal :

1. Vektor F_a dan F_b berturut-turut 30 N dan 50 N. Berapa resultan kedua vektor tersebut jika :

a.       kedua vektor searah !

b.      kedua vektor berlawanan arah !

c.       kedua vektor saling mengapit sudut 60° !

Diketahui :                  F_a = 30 N

                                    F_b = 50 N

Ditanyakan :    a) R = ................. ? (searah)

                        b) R = ................. ? (berlawanan arah)

                        c) R = ................. ?  α = 60°

a)      R = F_a  +  F_b                                        b) R = F_a  -  F_b

R = 30  +  50                                            R = 30  -  50          

R =  80 N                                                 R = - 20 N

                                    (tanda – menyatakan arah R sama dengan Fb)

 2.        Vektor V = 400 N dengan arah 30°  terhadap arah horizontal.

      Tentukan  komponen vektor diatas pada sumbu X dan sumbu Y !

      Diketahui :      V = 400 N

      Ditanyakan :    V_x = .................. ?

                               V_y = .................  ?

                        V_x  =  V Cos α                                                            V_y  =  V Sin α

                        V_x  =  400 Cos 30°                                          V_y  =  400 Sin 30°

                        V_x  =  400 0,87                                                V_y =  400 0,5

                        V_x  =  348 N                                                    V_y  =  200 N

  

3. Vektor P, Q dan S berturut-turut  200 N, 300 N dan 400 N dan arahnya 30° , 150° dan 210°  . Tentukan resultan dari ketiga vektor !

Diketahui :      P = 200 N

                        Q = 300 N

                        S = 400 N

Ditanyakan :    R = .................... ?

Untuk menghitung Resultan vektor yang lebih dari 2 vektor lebih mudah menggunakan tabel seperti dibawah : 

untuk mencari besarnya resultan vektor secara matematis kita tidak bisa hanya menggunakan cara poligon mapupun jajargenjang tetapi dapat dapat dicari dengan cara matematis atau dengan cara menggunakan rumus. Sekarang coba perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar di atas menunjukkan penjumlahan dua vektor A dan B. Dengan menggunakan persamaan tertentu, dapat diketahui besar dan arah resultan kedua vektor tersebut. Persamaan tersebut diperoleh dengan menerapkan aturan cosinus pada segitiga OPR, sehingga dihasilkan:

(OR)² = (OP)²+(PR)²–2(OP)(PR)cos (180o - α )

(OR)² = (OP)² + (PR)²–2(OP)(PR)(–cos α )

(OR)² = (OP)² + (PR)² + 2(OP)(PR)cos α

Diketahui bahwa OP = A, PR = OQ = B, OR = R, sehingga:

R adalah diagonal panjang jajaran genjang, jika α lancip. Sementara itu, α adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh A dan B.

Sebuah vektor mempunyai besar dan arah. Jadi setelah mengetahui besarnya, kita perlu menentukan arah dan resultan vektor tersebut. Arah R dapat ditentukan oleh sudut antara R dan A atau R dan B. Misalnya sudut θ merupakan sudut yang dibentuk R dan A, maka dengan menggunakan aturan sinus pada segitiga OPR akan diperoleh:

R/sin(180-α) = B/sin θ

R/sin α = B/sinθ

sin θ = B sin α/R

Dengan menggunakan persamaan tersebut, maka besar sudut θ dapat diketahui.

 

 

B.    Menguraikan Besaran Vektor

Perhatikan vektor P pada gambar  dibawah !

Arah vektor P adalah ke kanan atas, vektor ini dapat diuraikan menjadi dua komponen yaitu (Px) ke kanan dan (Py) ke atas seperti pada gambar.

Contoh 1

Sebuah vektor P mempunyai besar 200 satuan  dengan arah membentuk sudut 30 ˚ dengan sumbu X positif. Berapakah besar komponen vektor diatas pada sumbu X dan pada sumbu Y ?

            Diketahui  :     P = 200 satauan

                                    α = 30˚

            Diatanya    :     Px  ..... ?

                                    Py .....  ?

            a.         Px = P Cos α                                       b.         Py = P Sin α

                        Px = 200 Cos 30˚                                            Py = 200 Sin 30˚

                        Px = 200 . 0,5√3                                             Py = 200 . 0,5

                        Px = 100 √3 satuan                                         Py = 100 satuan

Contoh 2

            Komponen dari vektor A pada sumbu X adalah 150 satuan. Bila vektor A mengapit sudut 60˚ dengan sumbu X positif. Berapakah besar komponen vektor A pada sumbu Y dan berapa pula besar vektor A tersebut ?

            Diketahui :      Ax = 150 satuan

                                    α = 60˚

            Ditanya :         Ay ..........  ?

                                    A ............. ?

            a.         A_x        = A Cos α                                            b.         A² = (A_x)² + (A_y)²

                        150      = A Cos 60˚                                                    300²     = 150² + (A_y)²  

                        150      = A . 0,5                                                          90000 = 22500 + (A_y)²

                        A         = 150 / 0,5                                                       (A_y)²    = 90000 - 22500

                        A         = 300 satuan                                                    (A_y)²    = 67500

                                                                                                             A_y       = √67500 satuan

 

C.    Perkalian Besaran Vektor

1.      Dot Produck (Perkalian vektor dengan vektor hasilnya skalar)

      Misalnya F(vektor gaya) dan S (vektor perpindahan), Jika kedua vektor   diatas dikalikan hasilnya akan berupa sebuah sekalar yaitu W (Usaha). Secara Matermatika Dot Produck dapat ditulis :

                                          V₁ . V₂   =   V₁.V₂  Cos α

2.      Kros Produck (perkalian vektor dengan vektor hasilnya vektor)

      Misalnya F (vektor gaya) dan R (vektor posisi), jika keuda vektor tersebut dikalikan hasilnya akan berupa sebuah vektor baru yaitu  τ (Momen Gaya). Secara Matematika perkalian Kros Product dapat ditulis sbb :

                                          V₁  x  V₂   =   V₁.V₂  Sin α

Arah dari hasil perkalian vektor  dengan cara kros product dapat ditentukan dengan aturan putaran skrup, yaitu putaran skrup sama dengan arah putaran vektor melalui sudut terkecil sedangkan arah gerakan skrup menyatakan arah  vektor yang dihasilkan dari perkalian kros product.

3.      Perkalian vektor dengan sebuah bilangan

a . V  =   a V

 

D.    Selisih Vektor Poligon dengan Jajargenjang

Seperti pada penjumlahan vektor, suatu vektor bisa dikurangkan dengan vektor lain. Pengurangan suatu vektor A dengan vektor B sama dengan penjumlahan vektor A dengan negatif vektor B (atau -B ).

Pengurangan vektor pada dasarnya sama dengan penjumlahan vektor negatif.

Pengurangan vektor pada gambar di atas dilakukan dengan cara membuat vektor B (vektor yang besarnya sama dengan vektor B, sejajar, tetapi arahnya berlawanan). Suatu vektor A dikurangi dengan vektor B dan hasilnya vektor yaitu:

Sama seperti pada penjumlahan besaran vektor, pada selisih vektor juga bisa menggunakan cara poligon dan dengan cara jajargenjang. Berikut contoh gambar selisih vektor dengan menggunakan metode poligon.

Pengurangan vektor A dengan vektor B dengan metode jajar genjang yaitu sama dengan penjumlahan vektor A dengan vektor -B. Berikut gambar pengurangan vektor dengan metode jajargenjang.

 

Nah Untuk tes Online silakan Klik  TES ONLINE VEKTOR

referensi : http://cepitem.blogspot.com/2011/10/vektor.html

http://mafia.mafiaol.com/2013/09/rumus-besar-arah-resultan-vektor.html

http://mafia.mafiaol.com/2013/09/selisih-vektor-poligon-jajargenjang.html